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设函数f(x)=x|x-a|+b (1) 求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2...

设函数f(x)=x|x-a|+b
(1) 求证:f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0;
(2)设常数b<2manfen5.com 满分网-3,求对任意x∈[0,1],f(x)<0的充要条件.
(1)欲证f(x)为奇函数的充要条件是a2+b2=0,须证两个方面:①充分性:若a2+b2=0⇒f(x)为奇函数,②必要性:若f(x)为奇函数⇒a2+b2=0. (2)分类讨论:①当x=0时a取任意实数不等式恒成立;②当0<x≤1时f(x)<0恒成立,再转化为x+<a<x-恒成立问题,下面利用函数g(x)=x+的最值即可求得实数a的取值范围. 【解析】 (1)充分性:若a2+b2=0∴a=b=0 ∴f(x)=x|x|对任意的x∈R都有f(-x)+f(x)=0 ∴f(x)为奇函数,故充分性成立.(2分) 必要性:若f(x)为奇函数 则对任意的x∈R都有f(-x)+f(x)=0恒成立, 即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0 令x=0,得b=0;令x=a,得a=0.∴a2+b2=0(6分) (2)由b<2 -3<0,当x=0时a取任意实数不等式恒成立 当0<x≤1时f(x)<0恒成立,也即x+<a<x-恒成立 令g(x)=x+在0<x≤1上单调递增,∴a>gmax(x)=g(1)=1+b(10分) 令h(x)=x-,则h(x)在(0,]上单调递减,[,+∞)单调递增 1°当b<-1时h(x)=x-在0<x≤1上单调递减 ∴a<hmin(x)=h(1)=1-b.∴1+b<a<1-b.(12分) 2°当-1≤b<2 -3时,h(x)=x-≥2 , ∴a<hmin(x)=2 ,∴1+b<a<2 .(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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