Question

选修4一5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（I）若a=-1，解不等式，f（x）≥3；
（II）如果对于任意实数x，恒有f（x）≥2成立，求a的取值范围．

Answer

（I）由函数f（x）=|x-1|+|x-a|，知当a=1时，不等式f（x）≥3等价于|x-1|+|x+1|≥3，根据绝对值的几何意义能求出不等式f（x）≥3的解集．
（II）对∀x∈R，f（x）≥2，只需f（x）的最小值大于等于2．当a≥1时，f（x）=|x-1|+|x-a|=，f（x）min=a-1．同理，得当a＜1时，f（x）min=1-a，由此能求出a的取值范围．
【解析】
（I）∵函数f（x）=|x-1|+|x-a|，
∴当a=1时，不等式f（x）≥3等价于|x-1|+|x+1|≥3，
根据绝对值的几何意义：
|x-1|+|x+1|≥3可以看做数轴上的点x到点1和点-1的距离之和大于或等于3，
则点x到点1和点-1的中点O的距离大于或等于即可，
∴点x在或其左边及或其右边，
即或．
∴不等式f（x）≥3的解集为（-∞，-]∪．
（II）对∀x∈R，f（x）≥2，
只需f（x）的最小值大于等于2．
当a≥1时，f（x）=|x-1|+|x-a|=，
∴f（x）min=a-1．
同理，得当a＜1时，f（x）min=1-a，
∴或，
解得a≥3，或a≤-1，
∴a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．