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已知椭圆的离心率,短轴长为2. (1)求椭圆方程; (2)若椭圆与x轴正半轴、y...

已知椭圆manfen5.com 满分网的离心率manfen5.com 满分网,短轴长为2.
(1)求椭圆方程;
(2)若椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,经过点manfen5.com 满分网且斜率k的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q.是否存在常数k,使得向量manfen5.com 满分网共线?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由.
(1)利用条件2b=2,=,求出a,b,c即可求出椭圆方程; (2)先把直线方程和椭圆方程联立消去y,对应判别式大于0,找到一个关于k的不等式.再求出向量OP,OQ,AB的坐标,利用向量共线求出k的值,看是否满足判别式大于0即可下结论. 【解析】 (1)由已知得⇒ 故椭圆方程是=1(4分) (2)由已知条件,直线l:y=kx+,代入椭圆方程得=1. 整理得kx+1=0① 由已知得-2>0,解得k<-或k>.(6分) 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则, 由方程①,x1+x2=-. ② 又y1+y2=k(x1+x2)+2. ③ 而,B(0,1),, 所以共线等价于x1+x2=-, 将②③代入上式,解得k=,(10分) 又k<-或k>, 故没有符合题意的常数k.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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