Question

如图，四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD三角形，平面VAD⊥底面ABCD，设AB=2
（I）证明：AB⊥平面VAD；
（II）求二面角A-VD-B的正切值；
（III） E是VA上的动点，当面DCE⊥面VAB时，求三棱锥V-ECD的体积．

Answer

（I）欲证AB⊥面VAD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与面VAD内两相交直线垂直，而VE⊥AB可由面VAD⊥底面ABCD得到，AB⊥CD，满足定理条件；
（II）设VD的中点为F，连AF，AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，根据二面角平面角的定义可知∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角，在Rt△ABF中求出此角即可．
（III）由（Ⅰ）可知AB⊥平面VAD，说明平面VAD⊥平面ECD．当E是VA的中点时，证明面DCE⊥面VAB，利用三棱锥V-ECD的体积等于三棱锥C-EVD的体积，求解即可
证明：（I）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，
则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB．
又面ABCD是正方形，则AB⊥CD，故AB⊥面VAD．
（II）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，
设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，
由三垂线定理知BF⊥VD，
故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角．
设正方形ABCD的边长为a，
则在Rt△ABF中，，AB=a，AF=a，tan∠AFB=
故二面角A-VD-B的正切值为：；
（III）：由（Ⅰ）可知AB⊥平面VAD，
∴CD⊥平面VAD．
∴平面VAD⊥平面ECD．
又∵△VAD是正三角形，
∴当E是VA的中点时，ED⊥VA．
∴VA⊥平面EDC．
∴面DCE⊥面VAB
三棱锥V-ECD的体积等于三棱锥C-EVD的体积，
=．12分