Question

已知函数f（x）=，g（x）=x³-2a²x+a³-4
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若存在实数a使得对于任意给定x₁∈[0，t]，都有x₂∈[0，2]，使f（x₁）=g（x₂），求t的最大值．

Answer

（I）函数的定义域为（-∞，3）∪（3，+∞），求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调递增区间；令f′（x）＜0，x≠3，可得f（x）的单调递减区间；
（II）确定x∈[0，2]时，函数f（x的值域，若命题成立，等价于g（x）在[0，t]上的值域是[-4，-3]的子集，对g（x）=x3-2a2x+a3-4，求导函数，再进行分类讨论．①当a=0时，g（x）在R上是增函数，从而0≤x≤t时，-4≤g（x）≤t2-4，故只需t2-4≤-3；②a≠0，要使命题成立，只需-4≤g（0）≤-3，从而g′（x）=3（x+）（x-），确定函数的单调性，从而可得函数g（x）的最小值，从而可求t的取值的最大值．
【解析】
（I）函数的定义域为（-∞，3）∪（3，+∞）
求导函数可得f′（x）==
令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞5；令f′（x）＜0，x≠3可得1＜x＜3或3＜x＜5
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（5，+∞）；f（x）的单调递减区间为（1，3），（3，5）；
（II）当x∈[0，2]时，在[0，1]上单调增，在[1，2]上单调递减，∴f（x）∈[-4，-3]
若命题成立，等价于g（x）在[0，t]上的值域是[-4，-3]的子集
∵g（x）=x3-2a2x+a3-4
∴g′（x）=3x2-2a2=3（x+）（x-）
①当a=0时，g′（x）=3x2＞0，∴g（x）在R上是增函数
∴0≤x≤t时，-4≤g（x）≤t2-4
∴只需t2-4≤-3，∴-1≤t≤1
②a≠0，∵g（0）=a3-4
要使命题成立，只需-4≤g（0）≤-3，∴-4≤a3-4≤-3
∴0≤a≤1
∴g′（x）=3（x+）（x-）
∴函数g（x）在（-∞，-）上单调增，在（-，）上单调减，在（，+∞）上单调增
当时，g（x）在处取得最小值，∴＜-4舍去；
当时，g（x）在x=t处取得最小值g（t），g（t）=t3-2a2t+a3-4，只需g（t）≥-4
∴t3-2a2t+a3-4≥-4
∴（t-a）（t+）（t-）≥0
从而t的取值的最大值为
综上所述，t的最大值是1．