Question

已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	3	-2	4
y	-2		-4

（Ⅰ）求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交不同两点M、N且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，据此验证4个点知（3，-2）、（4，-4）在抛物线上，易求C2：y2=4x，设C1：，把点（-2，0）（）代入得：，由此能够求出C1方程．
（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x-1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），由消掉y，得（1+4k2）x2-8k2x+4（k2-1）=0，再由韦达定理能够导出存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2．
【解析】
（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，据此验证4个点知（3，-2）、（4，-4）在抛物线上，易求C2：y2=4x（2分）
设C1：，把点（-2，0）（）代入得：
解得
∴C1方程为（5分）
（Ⅱ）容易验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；（6分）
当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x-1），与C1的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2）
由消掉y，得（1+4k2）x2-8k2x+4（k2-1）=0，（8分）
于是，①
y1y2=k（x1-1）×k（x1-1）=k2[x1x2-（x1+x2）+1]
即②（10分）
由，即，得x1x2+y1y2=0（*），
将①、②代入（*）式，得，解得k=±2；（11分）
所以存在直线l满足条件，且l的方程为：y=2x-2或y=-2x+2．（12分）．