Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并写出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足…，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由题意可得 an+1+1=2（an+1），数列{an+1}是以2为公比、以2为首项的等比数列，求得an+1=2n，从而求得{an}的通项公式．
（2）由题意可得 =（2n）n=，即 2（b1+b2+…+bn）-2n=n2，由此求得数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）证明：∵an+1=2an+1（n∈N*），∴an+1+1=2（an+1）．
又 a1=1，a1+1≠0，∴=2，
∴数列{an+1}是以2为公比、以2为首项的等比数列，
∴an+1=2n，即an =2n-1．
（2）∵…，
]∴=（2n）n=，
∴2（b1+b2+…+bn）-2n=n2，
∴b1+b2+…+bn=．