Question

数列{a_n} （n∈N^*）为递减的等比数列，且a₁和a₃为方程log_m（5x-4x²）=0（m＞0且m≠1）的两个根．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）方程即4x2-5x+1=0，利用韦达定理可得a1 +a3=，a1 •a3=．再由数列{an}为递减的等比数列可得a1 =1，a3=，可得公比的值，从而求得数列{an}的通项公式．
（2）数列{bn}的通项 bn=（-），用裂项法求出数列{bn}的前n项和Sn 的值．
【解析】
（1）方程logm（5x-4x2）=0（m＞0且m≠1）即 5x-4x2=1，即4x2-5x+1=0．
利用韦达定理可得a1 +a3=，a1 •a3=．再由数列{an} （n∈N*）为递减的等比数列可得a1 =1，a3=，故公比为．
∴an=．
（2）∵bn====（-）．
∴数列{bn}的前n项和Sn=[（1-）+++…+=（1-）=．