Question

已知．
（I）求函数f（x）的最小值；
（ II）当x＞2a，证明：．

Answer

（Ⅰ）由f′（x）=x-=，知当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．由此能求出函数f（x）的最小值．
（Ⅱ）由（Ⅰ），知f（x）在（2a，+∞）单调递增，则所证不等式等价于f（x）-f（2a）-a（x-2a）＞0，由此能够证明＞a．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=x-=．…（1分）
当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
当x=a时，f（x）取得极小值也是最小值f（a）=a2-a2lna．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（2a，+∞）单调递增，
则所证不等式等价于f（x）-f（2a）-a（x-2a）＞0．…（7分）
设g（x）=f（x）-f（2a）-a（x-2a），
则当x＞2a时，
g′（x）=f′（x）-a=x--a=＞0，…（9分）
所以g（x）在[2a，+∞）上单调递增，
当x＞2a时，g（x）＞g（2a）=0，即f（x）-f（2a）-a（x-2a）＞0，
故＞a．…（12分）