Question

在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，．记点P的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程；
（II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，，当点M在曲线E上时，求四边形OAMB的面积．

Answer

（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．由=，得（x-m，y）=（-x，n-y），由||=+1，得m2+n2=（+1）2，由此能求出曲线E的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由=+，知点M坐标为（x1+x2，y1+y2）．设直线l的方程为y=kx+1．代入曲线E方程，得（k2+2）x2+2kx-1=0，由此能求出平行四边形OAMB的面积．
【解析】
（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由=，得（x-m，y）=（-x，n-y），
∴．（2分）
由||=+1，得m2+n2=（+1）2，
∴（+1）2x2+y2=（+1）2，
整理，得曲线E的方程为x2+=1．…（5分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由=+，知点M坐标为（x1+x2，y1+y2）．
设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，得
（k2+2）x2+2kx-1=0，
则x1+x2=-，x1x2=-，…（7分）
y1+y2=k（x1+x2）+2=，
由点M在曲线E上，知（x1+x2）2+=1，
即，解得k2=2．…（9分）
这时|AB|===，
原点到直线l的距离d==，
平行四边形OAMB的面积S=|AB|•d=．…（12分）