Question

设奇函数f（x）对任意x∈R都有．
（1）求和的值；
（2）数列{a_n}满足：a_n=f（0）+，数列{a_n}是等差数列吗？请给予证明；
（3）设m与k为两个给定的不同的正整数，{a_n}是满足（2）中条件的数列，
证明：（s=1，2，…）．

Answer

（1）直接根据，且f（x）是奇函数把代入即可求出；再结合奇函数得到；把代入即可得到的值；
（2）先设，利用倒序相加法结合第一问的结论，求出，进而求出数列{an}的通项公式，再根据定义即可证得数列{an}是等差数列；
（3）先根据第一问的结论把问题转化，再利用基本不等式对其放缩即可得到结论．
【解析】
（1）∵，且f（x）是奇函数
∴
∴，故…（2分）
因为，所以．
令，得，即．…（4分）
（2）设
又
两式相加．
所以，…（6分）
故…（7分）
又．故数列{an}是等差数列．…（8分）
（3）∵
=
=||
要证：（s=1，2，…）
即 …（10分）
∵
∴
即，从而…（12分）
又∵恒成立，
所以有恒成立
即（s=1，2，…）…（14分）