Question

设f（x）=ax+b（其中a，b为实数），f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f（f_n（x）），n=1，2，3，…，若2a+b=-2，且f_k（x）=-243x+244，则k=    ．

Answer

首先由f（x）=ax+b，f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），可以由代入法推出fk（x），再有待定系数法和关系式2a+b=-2，求出a，b，k．即可得到答案．
【解析】
f（x）=ax+b（其中a，b为实数），f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n=1，2，3，…，
所以f1（x）=ax+b．
f2（x）=a（ax+b）+b=a2x+ab+b
f3（x）=a（a2x+ab+b）=a3x+a2b+ab
…
fk（x）=akx+ak-1b+ak-2b  又fk（x）=-243x+244
所以有
所以解得k=5，a=-3，b=4．
故答案为5．