Question

如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流
的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）

A．（2-2）a万元
B．5a万元
C．（2+1）a万元
D．（2+3）a万元

Answer

依题意知曲线PQ是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2，以直线AB为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 ，点C的坐标为（3，）．求出修建这条公路的总费用W，根据双曲线的定义有 ，根据a+b 当且仅当a=b时取等号的方法求出W的最小值即可．
【解析】
依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），
此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，
则该双曲线的方程为 x2-=1，
点C的坐标为（3，）．则修建这条公路的总费用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[|MB|+|MC|]，
设点M、C在右准线上射影分别为点M1、C1，
根据双曲线的定义有|MM1|=|MB|，
所以=2a[|MM1|+|MC|]≥2a|C C1|=2a×（3-）=5a．
当且仅当点M在线段C C1上时取等号，故ω的最小值是5a．
故选B．