Question

某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-x²（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）．
（1）把利润y表示为年产量x的函数；
（2）年产量多少时，企业所得的利润最大？
（3）年产量多少时，企业才不亏本？

Answer

（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其总成本C（x）之差，而总成本C（x）=固定成本（5000）+生产消耗成本（每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元）；（2）求利润y表示为年产量x的函数的最大值；（3）企业才不亏本是指利润非负，即解不等式y≥0，求得x的值．
【解析】
（1）由题意，当x≤5时，产品能全部售出，
当x＞5时，只能销售500台，
所以y=
=
（2）在0≤x≤5时，y=-0.5x2+4.75x-0.5，
当x=-=4.75（百台）时，ymax=10.78125（万元），
当x＞5（百台）时，
y＜12-0.25×5=10.75（万元），
所以当生产475台时，利润最大．
（3）要使企业不亏本，即要求0≤x≤5，-0.5x2+4.75x-0.5≥0或x＞5，12-0.25x≥0
解得5≥x≥4.75-≈0.1（百台）或5＜x≤48（百台）时，
即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本．