Question

已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.

（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有

?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（Ⅰ）证明：见解析；｛an｝不是等比数列.

(Ⅱ)【解析】
因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)

=(-1)n·（an-3n+21）=-bn

又b1x-(λ+18),所以当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：

当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).

故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.

(Ⅲ)当a3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a