Question

已知函数(x≥4)的反函数为，数列满足：a₁=1，，（N*），数列，，，…，是首项为1，公比为的等比数列．

（Ⅰ）求证：数列为等差数列；  （Ⅱ）若，求数列的前n项和．

Answer

（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）．

【解析】(I)反解x,可得(x≥0),

所以,从而可得（N*）,由等差数列的定义可知数列是等差数列.

(II)由题意可知当n≥2时，,然后采用叠加的办法求出,从而确定,然后采用错位相减的方法求和.

（Ⅰ）∵(x≥4)，

∴(x≥0)，

∴，

即（N*）．

∴数列是以为首项，公差为2的等差数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，即

（N*）．

b1=1，当n≥2时，，

∴

因而，N*．

，

∴

令               ①

则      ②

①-②，得

∴．又．

∴．