Question

在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点．   （Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）若，求k的值；

（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有||>||．

Answer

（Ⅰ）．（Ⅱ）． （Ⅲ）在题设条件下，恒有． 

【解析】(I)根据椭圆定义可知a=2,,所以b=1,再注意焦点在y轴上，曲线C的方程为.

(II) 直线与椭圆方程联立，消y得关于x的一元二次方程，再根据坐标化为，借助直线方程和韦达定理建立关于k的方程，求出k值.

(III)要证：||>||,，再根据A在第一象限，故,,从而证出结论.

【解析】
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，

故曲线C的方程为．            3分

（Ⅱ）设，其坐标满足

消去y并整理得，

故．       5分

若，即．而，

于是，

化简得，所以．       8分

（Ⅲ）

                  ．

因为A在第一象限，故．由知，从而．又，

故，

即在题设条件下，恒有．          12分