Question

如图，平行四边形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，坐标原点O在边BC上，AD＝6，OA、OB的长分别是关于x的一元二次方程x²﹣7x+12＝0的两个根．且OA＞OB．

（1）求点C、D的坐标．

（2）求证：射线AO是∠BAC的平分线．

Answer

（1）C（3，0），D（6，4）；（2）证明见解析．

【解析】

（1）先利用因式分解法解方程x2﹣7x+12＝0得到OA＝4，OB＝3，再利用平行四边形的性质得AD∥BC，BC＝AD＝6，则OC＝3，从而得到C、D的坐标；

（2）先证明AO垂直平分BC得到AB＝AC，然后根据等腰三角形的性质得到结论．

（1）∵x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，

∴x1＝3，x2＝4，

∴OA＝4，OB＝3．

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，BC＝AD＝6，

∴OC＝6﹣3＝3，

∴D（6，4），C（3，0）；

（2）∵OB＝OC，AO⊥BC，即AO垂直平分BC，

∴AB＝AC，

∴射线AO是∠BAC的平分线．