Question

如图，射线OP与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OP上一点，过点A作x轴的垂线与x轴交于点E．△AOE绕着点O逆时针旋转90°后能与△BOC重合，△BOC沿着y轴翻折能与△DOC重合，若点D恰好在抛物线y＝x²（x＞0）上，则点A的坐标是_____．

Answer

（3，）

【解析】

设AE＝t，利用含30度的直角三角形三边的关系别说出OE得到A（t，t），再利用旋转的性质得到B（﹣t， t），接着利用关于y轴对称点的坐标特征得到D（t， t），然后把D（t， t）代入y＝x2得t2＝t，最后解方程求出t即可得到点A的坐标．

设AE＝t，

在Rt△AOE中，∵∠AOE＝30°，

∴OE＝AE＝t，

∴A（t，t），

∵△AOE绕着点O逆时针旋转90°后能与△BOC重合，

∴BC＝AE＝t，OC＝OE＝t，

∴B（﹣t， t），

∵△BOC沿着y轴翻折能与△DOC重合

∴D（t， t），

把D（t， t）代入y＝x2得t2＝t，解得t1＝0（舍去），t2＝，

∴点A的坐标为（3，）．

故答案是：（3，）．