Question

已知在四边形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的一点．

（1）如图1：当四边形ABCD是正方形时，且∠EAF＝45°，则EF、BE、DF满足的数量关系是　   　，请说明理由；

（2）如图2：当AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠EAF是∠BAD的一半，问：（1）中的数量关系是否还存在？　   　（填是或否）

（3）在（2）的条件下，将点E平移到BC的延长线上，请在图3中补全图形，并写出EF、BE、DF的关系．

Answer

（1）EF＝BE+DF，理由详见解析；（2）是；（3）图详见解析，EF＝BE﹣DF．

【解析】

（1）先判断出△ABM≌△ADF，进而得出AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，然后由∠EAF＝45°，证得∠EAM＝∠EAF，继而证得△EAM≌△EAF，继而证得结论；

（2）首先延长CB到P使BP＝DF，证得△ABP≌△ADF（SAS），再证得△APE≌△AFE（SAS），继而证得结论；

（3）首先在BC上截取BP＝DF，证得△ABP≌△ADF（SAS），再证得△APE≌△AFE（SAS），即可得EF＝BE﹣BP＝BE﹣DF．

【解析】
（1）EF＝BE+DF，

理由：如图1，延长CB至M，使BM＝DF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABM＝∠D＝90°，

在△ABM和△ADF中，

，

∴△ABM≌△ADF（SAS），

∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，

∵四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°，

∴∠DAF+∠BAE＝45°，

∴∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝45°，

∴∠EAM＝∠EAF，

在△EAM和△EAF中，

，

∴△EAM≌△EAF（SAS），

∴EF＝EM＝BM+BE＝BE+DF；

故答案为：EF＝BE+DF；

（2）是存在，

理由如下：延长CB到P使BP＝DF，

∵∠ABC＝∠D＝90°，

∴∠ABP＝90°，

∴∠ABP＝∠D，

在△ABP和△ADF中，

，

∴△ABP≌△ADF（SAS），

∴AP＝AF，∠BAP＝∠DAF，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠BAE+∠DAF＝∠EAF，

∴∠BAP+∠FAD＝∠EAF，

即：∠EAP＝∠EAF，

在△APE和△AFE中，

，

∴△APE≌△AFE（SAS），

∴PE＝FE，

∴EF＝BE+DF；

故答案为：是；

（3）如图3，补全图形．

证明：在BC上截取BP＝DF，

∵∠B＝∠ADC＝90°，

∴∠ADF＝90°，

∴∠B＝∠ADF，

在△ABP和△ADF中，

，

∴△ABP≌△ADF（SAS），

∴AP＝AF，∠BAP＝∠DAF，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠DAE+∠DAF＝∠BAD，

∴∠BAP+∠EAD＝∠BAD，

∴∠EAP＝∠BAD＝∠EAF，

在△APE和△AFE中，

，

∴△APE≌△AFE（SAS），

∴PE＝FE，

∴EF＝BE﹣BP＝BE﹣DF．