Question

如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE．

（1）求证：BH＝AC；

（2）求证：BG²﹣GE²＝EA²．

Answer

（1）（2）证明详见解析.

【解析】

试题（1）根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可.（2）根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案.

试题解析：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，

∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°.

∴DB=DC，∠ABE=∠DCA.

在△DBH和△DCA中，∵∠DBH=∠DCA，BD=CD，∠BDH=∠CDA，

∴△DBH≌△DCA（ASA）.∴BH=AC.

（2）连接CG，

∵F为BC的中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC. ∴BG=CG.

∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB.

在△ABE和△CBE中，∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，

∴△ABE≌△CBE（ASA）.∴EC=EA.

在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=EC2.

∴BG2﹣GE2=EA2.