Question

如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长AP交CD于F点，连接CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA＝∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC；其中正确结论的个数为(     )

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Answer

B

【解析】

①根据三角形内角和为180°易证∠PAB+∠PBA=90°，可证四边形AECF为平行四边形；
②根据平角定义得∠APQ+∠BPC=90°，再加上正方形所有内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；
③由翻折得∠FPC=∠PCE=∠BCE，∠FPC∠FCP，∠PFC是钝角，△PCF不一定是等腰三角形；
④ 当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题.

①设EC，BP交于点G；
∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．
∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．
∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；
②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；
③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．
∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；
④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．
∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；
其中正确结论有①②，2个．
 故选B．