Question

如图1，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上．

（1）求证：AE²+AD²=2AC²；

（2）如图2，若AE=3，AC=，点F是AD的中点，求出CF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接BD，根据题意可以证明△ADB是直角三角形，然后根据三角形全等和勾股定理即可证明结论成立；

（2）过C作CM⊥ED于M．根据（1）中的结论得到AD的长，从而得到ED的长，根据等腰三角形的性质得到CM和MD的长，根据中点的性质及线段的和差得到MF的长．在Rt△CMF中，根据勾股定理即可得到结论．

（1）连接BD．

∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，∴∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°，∠CEA=∠CDE=45°，∠CAB=∠CBA=45°，∴∠ECA=∠DCB．

在△ECA和△DCB中，，∴△ECA≌△DCB（SAS），∴AE=BD，∠CEA=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB+∠EDC=90°，∴△ADB是直角三角形，∴AD2+BD2=AB2．

在Rt△ACB中，AC=BC，AC2+BC2=2AC2=AB2，∴2AC2=AD2+BD2，即AE2+AD2=2AC2；

（2）过C作CM⊥ED于M．

∵AE2+AD2=2AC2，AE=3，AC=，∴AD=9，∴ED=EA+AD=3+9=12．

∵点F是AD的中点，∴AF=DF=4.5．

∵△ECD是等腰直角三角形，∴CM=ED=MD=6，∴MF=MD－DF=6－4.5=1.5．在Rt△CMF中，CF===．