Question

如图，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．求证：BF=2AE．

Answer

证明见解析

【解析】

先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得证．

∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD．

∵BE⊥AC，AD⊥BC

∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CBE．

在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴BF=AC．

∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE．