Question

如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB=60°；③BF=AH；④△CFH是等边三角形；⑤连CG，则∠BGC=∠DGC ；⑥EG+GC=GD. 其中正确的有________.（只要写序号）

Answer

①②③④⑤⑥

【解析】

利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH，进而得出△BCF≌△ACH因此BF=AH．由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．连接CG，过C作CI⊥BE于I，CJ⊥AD于J．由全等三角形对应边上的高相等得到CI=CJ，由角平分线的判定定理得到GC平分∠BGD．

在GD上截取GM=GE，连接EM．由∠EGM=∠AGB=60°，得到△EGM是等边三角形，得到ME=GE，∠GEM=60°．通过证明△GEC≌△MED，得到GC=MD，即可得到GD=GM+MD=GE+CG．

∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACE=60°，∴∠BCE=∠ACD．在△BCE和△ACD中，∵，∴△BCE≌△ACD（SAS）；故①正确；

∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．

∵∠BFC=∠AFG，∴∠AGB=∠ACB=60°，故②正确；

在△BCF和△ACH中，∵，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH，BF=AH；故③正确；

∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形；故④正确；

连接CG．过C作CI⊥BE于I，CJ⊥AD于J．

∵△BCE≌△ACD，∴CI=CJ，∴GC平分∠BGD，∴∠BGC=∠DGC．故⑤正确．

在GD上截取GM=GE，连接EM．

∵∠EGM=∠AGB=60°，∴△EGM是等边三角形，∴ME=GE，∠GEM=60°．

∵∠CED=60°，∴∠GEC=∠MED．在△GEC和△MED中，∵GE=ME ，∠GEC=∠MED，CE=DE，∴△GEC≌△MED，∴GC=MD，∴GD=GM+MD=GE+CG．故⑥正确．

故答案为：①②③④⑤⑥．