Question

已知直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F．

（1）如图1，若∠1=60°，求∠2，∠3的度数．

（2）若点P是平面内的一个动点，连结PE，PF，探索∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系．

①当点P在图（2）的位置时，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD请阅读下面的解答过程并填空（理由或数学式）

【解析】
如图2，过点P作MN∥AB

则∠EPM=∠PEB（_______）

∵AB∥CD（已知）MN∥AB（作图）

∴MN∥CD（_______）

∴∠MPF=∠PFD （_______）

∴_____=∠PEB+∠PFD（等式的性质）

即：∠EPF=∠PEB+∠PFD

②拓展应用，当点P在图3的位置时，此时∠EPF=80°，∠PEB=156°，则∠PFD=_____度．

③当点P在图4的位置时，请直接写出∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间关系_____．

Answer

（1）∠2=60°，∠3=60°；（2） 两直线平行，内错角相等 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 两直线平行，内错角相等 ∠EPM+∠FPM 124 ∠EPF+∠PFD=∠PEB ．

【解析】

（1）根据对顶角相等求∠2，根据两直线平行，同位角相等求∠3；

（2）①过点P作MN∥AB，根据平行线的性质得∠EPM=∠PEB，且有MN∥CD，所以∠MPF=∠PFD，然后利用等式性质易得∠EPF=∠PEB+∠PFD．

②同①；

③利用平行线的性质和三角形的外角性质得到三个角之间的关系．

（1）∵∠2=∠1，∠1=60°

∴∠2=60°，

∵AB∥CD

∴∠3=∠1=60°；

（2）①如图2，过点P作MN∥AB，则∠EPM=∠PEB（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥CD（已知），MN∥AB，

∴MN∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

∴∠MPF=∠PFD（两直线平行，内错角相等）

∴∠EPM+∠MPF=∠PEB+∠PFD（等式的性质）

即∠EPF=∠PEB+∠PFD；

故答案为：两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；∠EPM+∠MPF；

②过点P作PM∥AB，如图3所示：

则∠PEB+∠EPM=180°，∠MPF+∠PFD=180°，

∴∠PEB+∠EPM+∠MPF+∠PFD=180°+180°=360°，

即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°，

∴∠PFD=360°﹣80°﹣156°=124°；

故答案为：124；

③∠EPF+∠PFD=∠PEB．

故答案为：∠EPF+∠PFD=∠PEB．