Question

如图， ，射线，且， ，点是线段（不与点、重合）上的动点，过点作交射线于点，连结．

（）如图，若，求证： ≌．

（）如图，若平分，试猜测和的数量关系，并说明理由．

（）若是等腰三角形，作点关于的对称点，连结，则__________．（请直接写出答案）

Answer

（）证明见解析； （），理由见解析；（3）5．

【解析】分析：（1）当BP=4时，CP=BC-BP=5=4=1，得出AB=PC，再根据AAS判定△APB≌△PDC；（2）先延长线段AP、DC交于点E，运用ASA判定△DPA≌△DPE，再运用AAS判定△APB≌△EPC，根据全等三角形的性质，即可得出结论；（3）先连接B'P，过点B'作B'F⊥CD于F，根据轴对称的性质，得出△ABP为等腰直角三角形，并判定四边形B'PCF是矩形，求得B'F=4，DF=3，最后在Rt△B'FD中，根据勾股定理即可求得B'D的长度．

本题解析：

证明：（）∵， ， ，

∴，

∴，

∴，

∵， ，

∴．

在和中，

，

∴≌．

（）过点， 交于点，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴≌，

∴，

∵， ，

∴，

在和中，

，

∴≌，

∴．

（）连接，作于点，

则，

∵是等腰三角形，

∴为等腰直角三角形，即，

又∵，

∴，

∵点关于的对称点为，

∴， ， ，

∴为等腰直角三角形，四边形是长方形，

∴， ，

，

， ，

在中， ．