Question

已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A(0，2)，B(1，0)分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点．现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)经过点D.如图，若该抛物线经过原点O，且a＝－.

(1)求点D的坐标及该抛物线的解析式；

(2)连结CD.问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）D点的坐标是(3，1)．y＝－x2＋x；（2）在抛物线上存在点P1(，)，P2(，－)，使得∠POB与∠BCD互余．

【解析】试题分析：（1）过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a=-，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；
（2）先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，设P的坐标为（x，-x2+x），分两种情况讨论即可求得；

试题解析：

(1)过点D作DF⊥x轴于点F.

∵∠DBF＋∠ABO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，∴

∠DBF＝∠BAO.

又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，

∴△AOB≌△BFD，

∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，

∴D点的坐标是(3，1)．

根据题意，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过原点和点D，

∴c＝0，(－)×32＋b×3＋c＝1，

∴b＝，

∴该抛物线解析式为y＝－x2＋x；

(2)存在．

∵C、D两点纵坐标都为1，

∴CD∥x轴，

∴∠BCD＝∠ABO，

∴∠BAO与∠BCD互余．若要使得∠POB与∠BCD互余，则需满足∠POB＝∠BAO.

设点P的坐标为(x，－ x2＋x)．

当点P在x轴上方时，则tan∠POB＝tan∠BAO，

∴，解得x1＝0(舍去)，x2＝.

当x＝时，－ x2＋x＝，

∴点P的坐标是(，)；

当点P在x轴下方时，则，解得x1＝0(舍去)，x2＝

.当x＝时，

∴－x2＋x＝－，

∴点P的坐标是(，－)．

综上所述，在抛物线上存在点P1(，)，P2(，－)，使得∠POB与∠BCD互余．