Question

如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点，且∠DBC＝∠A，连接OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C.

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．

Answer

（1）证明见解析（2）9.6

【解析】试题分析：(1)连接OB，由垂径定理可得BE=DE，OE⊥BD， ，再由圆周角定理可得 ，从而得到∠ OBE＋∠ DBC＝90°，即 ，命题得证.

(2)由勾股定理求出OC，再由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长.

试题解析：(1)证明：如下图所示，连接OB.

∵ E是弦BD的中点，∴ BE＝DE，OE⊥ BD，，

∴∠ BOE＝∠ A，∠ OBE＋∠ BOE＝90°.

∵∠ DBC＝∠ A，∴∠ BOE＝∠ DBC，

∴∠ OBE＋∠ DBC＝90°，∴∠ OBC＝90°，即BC⊥OB，∴ BC是⊙ O的切线．

(2)【解析】
∵ OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴ ,

∵ ，∴ ，

∴.

点睛：本题主要考查圆中的计算问题，解题的关键在于清楚角度的转换方式和弦长的计算方法.