Question

如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆交于点D，AC，BD相交于点P，连接CD.

求证：AB∶BD＝BP∶PC.

Answer

证明见解析

【解析】试题分析：根据同弧上的圆周角相等可知∠ DAC＝∠ DBC，从而可得△ ABP∽ △ DCP，

再由角平分线与圆内接四边形的性质，易得∠ DCB＝∠ DBC，从而得到DB=DC，

那么由相似三角形对应边成比例可得AB∶DC＝PB∶PC，经过等量替换，即可得到

AB∶BD＝PB∶PC.

试题解析：∵AD是∠ EAC的平分线，∴∠ EAD＝∠ DAC.∵∠ EAD是圆内接四边形ABCD的外角，∴ ∠ EAD＝∠ DCB.又∵∠ DAC＝∠ DBC，∴∠ DCB＝∠ DBC，∴ DB＝DC.在

△ ABP和△ DCP中，∵∠ BAP＝∠ CDP，∠ APB＝∠ DPC，∴ △ ABP ∽ △ DCP，

∴ AB∶DC＝PB∶PC. 又∵ BD＝DC，∴ AB∶BD＝PB∶PC.