Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．

（1）求证：KE=GE；

（2）若KG²=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=2，求FG的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）AC∥EF，理由见解析；（3）FG =．

【解析】试题分析：（1）考虑证两个底角相等，即∠KGE=∠GKE根据等角对等边得出结论；（2）可判定AC∥EF，连接GD，因为给出的关系式可判定△GKD∽△EGK，∠E=∠AGD，而∠C=∠AGD，所以等量代换得到：∠E=∠C，进而得出结论；（3）先连接CO，连接OG，则OG垂直FG，求出半径OG和FG的长，利用∠F的正切值算出．在Rt△AHK和Rt△OCH中，利用勾股定理求出半径，∵sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，解出t值，设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，由勾股定理求出半径，因为∠CAH的正切值等于

∠F的正切值，所以FG就求出来了．

试题解析：（1）如下图：连接OG，∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，

又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．

（2）AC∥EF，连接GD，如答图2所示．∵KG2=KD•GE，即=，∴=，又∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；

（3）连接OG，OC，如答图3所示．sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（）2，解得t=．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，∴FG===．

考点：1．圆的有关性质；2．三角形相似与勾股定理的运用；3．锐角三角函数的运用．