Question

星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；

（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；

（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．

Answer

（1）y=30﹣2x（6≤x＜15）；（2）当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5；（3）x的取值范围为6≤x≤11．

【解析】试题分析：（1）由题意得苗圃园是矩形，矩形的两个短边与一个长边和是30，列关系式建立y与x的关系，由长边不能超过墙长，即30-2x≤18，得x≥6，长边大于0，即30-2x>0，得x<15，从而得到自变量x的取值范围；（2）建立S与x的二次函数，写成一般式，讨论x的取值，从而得出结论．（3）列关于面积的二次关系式大于等于88，从而得到x的取值范围．

试题解析：

（1）∵2x＋y=30，∴y=30-2x，∵长边不能超过墙长，即y=30-2x≤18，∴x≥6，又∵长边大于0，即30-2x>0，∴x<15，∴6≤x<15，∴y=30-2x，（6≤x<15）；

（2）设矩形苗圃园的面积为Ｓ，则Ｓ=xy＝x（30-2x）=－2ｘ＋30x∴Ｓ=-2（x-7．5）＋112．5，由（1）知，6≤x<15∴当ｘ=7．5时，Ｓ最大值＝112．5，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7．5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112．5；（3）∵Ｓ=-2（x-7．5）＋112．5，∴-2（x-7．5）＋112．5≥88，【解析】
（x-7．5）≤12．25，∴-3．5≤x-7．5≤3．5，即4≤x≤11．

又因为6≤x<15所以6≤x≤11．

考点：二次函数的实际应用．