Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，连结BC．点M是抛物线上A,C之间的一个动点，过点M作MN∥BC，分别交x轴、抛物线于D，N，过点M作

EF⊥x轴，垂足为F，并交直线BC于点E，

（1）求点A,B,C的坐标.

（2）当点M恰好是EF的中点，求BD的长.

（3）连接DE,记△DEM,△BDE的面积分别为S₁,S₂ ，当BD=1时，请求S₂-S₁的值．

Answer

（1）A（-1,0）B（3,0）C（0,3）（2）BD=（3）

【解析】

试题分析：

（1）在解析式： 中，分别由、 解方程就可求得A、B、C的坐标；

（2）由B（3， 0）和C（0， 3）可求得BC的解析式为： ，设，则可用含“m”的式子表达出E、F的坐标，再由M是线段EF的中点可列出关于“m”的方程，解方程求得“m”的值，就可以求得M、F的坐标，再求MD的解析式就可求得D的坐标，从而求得BD的长（也可先由已知条件证得D为线段BF的中点，然后由B、F的坐标来求BD的长）；

（3）由B（3， 0）、BD=1且D在B的左边可得D（2，0），再结合MD∥BC从而可求得MD的解析式，再解方程组可求得M的坐标，并由M的坐标可得E的坐标，从而得到ME、DF和EF的长，就可求得了.

试题解析：

（1）∵ 在中，当时，解得；当时，解的∴A（-1,0）B（3,0）C（0,3） ；

（2）∵ B（3,0）、C（0,3）

∴BC的函数解析式为： .

设，则

∵M为EF中点

∴，解得：

∵M在A、C两点之间，∴.

则M的坐标为.

又∵MD平行于BC

∴MD的函数解析式为： ，故

∴ BD=

（3）由图形可知，D在B点左侧，当BD=1时，D点坐标为（2,0）

∴此时MD的函数解析式为： .

则解得（舍去）

∴M点的坐标为，则E为，

∴ ME=1， ， .

∴ .