Question

平面直角坐标系中， 是坐标原点。已知A(0, )，B(1,0)，C（6, ），有一抛物线恰好经过这三点.

（1）求该抛物线解析式；

（2）若抛物线交轴的另一交点为D，那么抛物线上是否存在一点P，使得,若存在，求出P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer

（1）（2），

【解析】

试题分析：

（1）根据已知三点坐标的特征，可设解析式为一般形式，代入三点坐标列方程组求解，就可求得解析式了；

（2）如图，分两种情况讨论：①当点P在x轴上方时，若∠POB=∠CBD，则PO∥BC，则由BC的解析式可求得PO的解析式，进而解方程组求得点P的坐标；②当点P在x轴的下方时，我们过点B在x轴下方作射线BE，使∠EBD=∠CBD，这样，射线BE和射线BC就关于x轴对称，由BC的解析式可得BE的解析式，若此时，∠POB=∠CBD，则∠POB=∠EBD，可得PO∥EB，就可由EB的解析式得到PO的解析式，再解方程组就可求得P的坐标了.

试题解析：

（1）设，由于抛物线经过A，B，C三点

可得： ，解得，∴ .

（2）由B，C两点坐标可求得直线BC的函数解析式为： .

① 若点P在x轴上方，则PO∥BC，则OP的函数解析式为，

由 解得，

∴ .

② 若点P在x轴下方，作射线BE和射线BC关于x轴对称，则可得BE的解析式为： ，且∠CBD=∠EBD，

又∵∠CBD=∠POD，

∴∠POD=∠EBD，

∴ PO∥BE，由此可得OP的函数解析式为，

由 解得

∴ .

综上所述： ，