Question

已知，如图，△ABC的三条边BC＝，CA＝，AB＝，D为△ABC内一点，且∠ADB＝∠BDC＝∠CDA＝120°，DA＝，DB＝，DC＝．

（1）若∠CDB＝18°，则∠BCD＝　　　　　　°；

（2）将△ACD绕点Ａ顺时针方向旋转90°到，画出，若∠CAD＝20°，求度数；

（3）试画出符合下列条件的正三角形：M为正三角形内的一点，M到正三角形三个顶点的距离分别为、、，且正三角形的边长为＋＋，并给予证明．

Answer

（1）42；

（2）画图见解析， 度数是70°；

（3）画图见解析，证明见解析

【解析】（本小题满分１４分）

【解析】
（１）４２；……………………………………………………………………１分

（２）画图如下（如图５）．………………………………………………………３分

∵∠ＤＡ＝９０°，∠ＣＡＤ＝２０°，

∴∠ＣＡ＝∠ＤＡ－∠ＣＡＤ＝９０°－２０°＝７０°；…………５分

（３）画图如下：将△ＢＤＣ绕点Ｂ按逆时针方向旋转６０°…………………２分

到△ＢＥＦ的位置（如图６）．

连结ＤＥ，ＣＦ，这样可知△ＢＤＥ和△ＢＣＦ均为等边三角形，

从而ＤＥ＝，ＣＦ＝．

∵∠ＡＤＢ＝１２０°，∠ＢＤＥ＝６０°，即∠ＡＤＥ＝１８０°，

则Ａ、Ｄ、Ｅ三点共线（即该三点在同一条直线上）．……………………………３分

同理，∵∠ＢＥＦ＝∠ＢＤＣ＝１２０°，∠ＢＥＤ＝６０°，

即∠ＤＥＦ＝１８０°，则Ｄ、Ｅ、Ｆ三点共线，

∴Ａ、Ｄ、Ｅ、Ｆ四点均在一条直线上．…………………………………………４分

∵ＥＦ＝ＤＣ＝，∴线段ＡＦ＝＋＋．

以线段ＡＦ为边在点Ｂ一侧作等边△ＡＦＧ（图６），……………………………５分

则△ＡＦＧ即为符合条件的等边三角形，其中的点Ｂ即为点Ｍ．…………………６分

正三角形的边长为＋＋已证，ＢＡ＝，ＢＦ＝ＢＣ＝，

下面再证ＢＧ＝．

∵∠ＣＦＢ＝∠ＡＦＧ＝６０°，

即∠１＋∠ＥＦＢ＝∠２＋∠ＥＦＢ＝６０°，∴∠１＝∠２．

在△ＡＦＣ和△ＧＦＢ中，∵ＦＡ＝ＦＧ，∠１＝∠２，ＦＣ＝ＦＢ，

∴△ＡＦＣ≌△ＧＦＢ（ＳＡＳ），

∴ＡＣ＝ＧＢ，即ＢＧ＝ＣＡ＝．

从而点Ｂ（Ｍ）到等边△ＡＦＧ三个顶点的距离分别为、、，

且其边长为＋＋．………………………………………………………………８分

［注：把△ＡＤＢ绕点Ａ按逆时针方向旋转６０°，

把△ＣＤＡ绕点Ｃ按逆时针方向旋转６０°，

把△ＡＤＣ绕点Ａ按顺时针方向旋转６０°，

把△ＢＣＤ绕点Ｃ按顺时针方向旋转６０°等

均可证得，方法类似］