Question

如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在上，且＝2，OA＝4．

（1）∠COD＝　　　　°；

（2）求弦AD的长；

（3）P是半径OC上一动点，连结AP、PD，请求出AP＋PD的最小值，并说明理由．

（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）

Answer

（1）30；（2）弦AD长为4；（3）AP＋PD的最小值为，理由见解析.

【解析】（本小题满分１２分）

【解析】
（１）３０；……………………………………………………………………１分

（２）连结ＯＤ、ＡＤ（如图２）．

∵ＯＡ⊥ＯＣ，∴∠ＡＯＣ＝９０°．∵＝２，

设所对的圆心角∠ＣＯＤ＝，………………………………………………１分

则∠ＡＯＤ＝，…………………………………………………………………２分

由∠ＡＯＤ＋∠ＤＯＣ＝９０°，

得＋＝９０°，∴＝３０°，＝６０°，…………………………３分

即∠ＡＯＤ＝６０°，又∵ＯＡ＝ＯＤ，∴△ＡＯＤ为等边三角形，…………４分

∴ＡＤ＝ＯＡ＝４；…………………………………………………………………５分

（３）过点Ｄ作ＤＥ⊥ＯＣ，交⊙Ｏ于点Ｅ，……………………………………１分

连结ＡＥ，交ＯＣ于点Ｐ（如图３），………………………………………………２分

则此时，ＡＰ＋ＰＤ的值最小．

∵根据圆的对称性，点Ｅ是点Ｄ关于ＯＣ的对称点，

ＯＣ是ＤＥ的垂直平分线，即ＰＤ＝ＰＥ．………………………………………３分

∴ＡＰ＋ＰＤ＝ＡＰ＋ＰＥ＝ＡＥ，

若在ＯＣ上另取一点Ｆ，连结ＡＦ、ＦＤ及ＥＦ，

在△ＡＦＥ中，ＡＦ＋ＦＥ＞ＡＥ，

即ＡＦ＋ＦＥ＞ＡＰ＋ＰＤ，

∴可知ＡＰ＋ＰＤ最小．…………………………………………………………４分

∵∠ＡＥＤ＝∠ＡＯＤ＝３０°，

又∵ＯＡ⊥ＯＣ，ＤＥ⊥ＯＣ，∴ＯＡ∥ＤＥ，

∴∠ＯＡＥ＝∠ＡＥＤ＝３０°．

延长ＡＯ交⊙Ｏ于点Ｂ，连结ＢＥ，∵ＡＢ为直径，

∴△ＡＢＥ为直角三角形．由＝cos∠ＢＡＥ，……………………………５分

得ＡＥ＝ＡＢ·cos３０°＝２×４×＝，……………………………６分

即ＡＰ＋ＰＤ＝，

［也可利用勾股定理求得ＡＥ］