Question

如图，△ABC中，D为BC边上的点，∠CAD＝∠CDA，E为AB边的中点．

（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）连结EF，EF与BC是什么位置关系？为什么？

（3）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．

Answer

（1）作图见解析；

（2）EF∥BC，原因见解析；

（3）△ABD的面积为12

【解析】（本小题满分１２分）

【解析】
（１）尺规作图略；…………………………………………………………３分

（２）ＥＦ∥ＢＣ（即ＥＦ平行于ＢＣ）．……………………………………１分

原因如下：如图１，∵∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡ，

∴ＡＣ＝ＤＣ（等角对等边），即△ＣＡＤ为等腰三角形；…………………２分

又ＣＦ是顶角∠ＡＣＤ的平分线，由“三线合一”定理，

知ＣＦ是底边ＡＤ的中线，即Ｆ为ＡＤ的中点，……………………………３分

结合Ｅ是ＡＢ的中点，得ＥＦ为△ＡＢＤ的中位线，………………………４分

∴ＥＦ∥ＢＤ，从而ＥＦ∥ＢＣ；……………………………………………５分

（３）由（２）知ＥＦ∥ＢＣ，∴△ＡＥＦ∽△ＡＢＤ，…………………１分

∴，……………………………………………………………２分

又∵ＡＥ＝ＡＢ，∴得，

把Ｓ四边形ＢＤＦＥ＝９代入其中，解得

Ｓ△ＡＥＦ＝３，………………………………………………………………………３分

∴Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＥＦ＋Ｓ四边形ＢＤＦＥ＝３＋９＝１２，……………………………４分

即△ＡＢＤ的面积为１２．