Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

Answer

（1）；（2）3s、5.4s、6s、6.5s；（3）2或6秒

【解析】试题分析：（1）过P作PE⊥AB，设CP=2t，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可；

（2）分类讨论：当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上得t=3（s），若点P在AB上，则t=5.4s；当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP=AB=，易得t=（s）；当BP=BC=3时，△BCP为等腰三角形，则AP=AB-BP=2，易得t=6（s）；

（3）分两种情况讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，t+2t-3+3=6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t-4，AQ=2t-8，t-4+2t-8=6，分别求得t的值即可．

试题解析：（1）如图1，过P作PE⊥AB，

∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴CP=EP，

∴△ACP≌△AEP（HL），

∴AC=4cm=AE，BE=5-4=1，

设CP=x，则BP=3-x，PE=x，

∴Rt△BEP中，BE2+PE2=BP2，

即12+x2=（3-x）2

解得x=，

∴BP=3-=，

∴CA+AB+BP=4+5+=，

∴t=÷1=（s）；

（2）如图2，当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，

若点P在CA上，则1t=3，

解得t=3（s）；

如图3，当BP=BC=3时，△BCP为等腰三角形，

∴AP=AB-BP=2，

∴t=（4+2）÷1=6（s）；

如图4，若点P在AB上，CP=CB=3，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD=，

在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=，

∴PB=2BD=

∴CA+AP=4+5-=5.4，

此时t=5.4÷1=5.4（s）；

如图5，当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则BD=CD，

∴PD为△ABC的中位线，

∴AP=BP=AB=，

∴t=（4+）÷1=（s）；

综上所述，t为3s或5.4s或6s或s时，△BCP为等腰三角形；

（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t-3，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t+2t-3+3=6，

∴t=2（s）；

如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t-4，AQ=2t-8，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t-4+2t-8=6，

∴t=6（s）；

综上所述，当t=2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．