Question

如图，AD是△ABC一边上的高，BF⊥AC，BE=AC．（1）求证：AD=BD；（2）若∠C=65°，求∠ABE的度数．

Answer

（1）证明见解析；（2）20°

【解析】试题分析：（1）利用同角的余角相等求出∠C=∠BED，再利用“角角边”证明△ACD和△BED全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）根据直角三角形两锐角互余求出∠FBC，再求出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠ABD=45°，再根据∠ABE=∠ABD-∠CBF代入数据计算即可得解．

试题解析：（1）证明：∵AD是△ABC一边上的高，BF⊥AC，

∴∠C+∠CBE=90°，

∠BED+∠CBE=90°，

∴∠C=∠BED，

在△ACD和△BED中，

∴△ACD≌△BED（AAS），

∴AD=BD；

（2）∵BF⊥AC，

∴∠CBF=90°-∠C=90°-65°=25°，

∵AD⊥BC，AD=BD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠ABD=45°，

∴∠ABE=∠ABD-∠CBF=45°-25°=20°．