Question

如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=6，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴与点G，△ABD的面积为△ABC面积的.

(1)直接写出点D的坐标;

(2)过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．

①求证：OF=OG；（3分）   ②求点F的坐标．

(3)在(2)的条件下，在第一象限内是否存在点P，使△CFP为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) D(4,2);(2) ①证明见解析； ②F(1.2,0)； (3)存在，∴P(6,7.2),(7.2,1.2),(3.6,3.6).

【解析】分析：（1）作DH⊥AB于H，由OA=OB=OC=6，就可以得出∠ABC=45°，由三角形的面积公式就可以求出DH的值，就可以求出BH的值，从而求出D的坐标； （2）①根据OA=OC，再根据直角三角形的性质就可以得出△AOG≌△COF，就可以得出OF=OG；②由△AOG∽△AHD就可以得出OG的值，就可以求出F的坐标．（3）根据条件作出图形图1，作PH⊥OC于H，PM⊥OB于M，由△PHC≌△PMF就可以得出结论，图2，作PH⊥OB于H，由△COF≌△PHF就可以得出结论，图3，作PH⊥OC于H，由△COF≌△PHC就可以得出结论．

本题解析：

(1)作DH⊥AB于H，∴∠AHD=∠BHD=90°.∵OA=OB=OC=6，∴AB=12，

∴S△ABC==36，∵△ABD的面积为△ABC面积的.∴×36=，∴DH=2.

∵OC=OB，∴∠BCO=∠OBC.∵∠BOC=90°，∴∠BCO=∠OBC=45°，∴∠HDB=45°，∴∠HDB=∠DBH，

∴DH=BH.∴BH=2.∴OH=4，∴D(4,2)；

(2)①∵CE⊥AD，∴∠CEG=∠AEF=90°，∵∠AOC=∠COF=90°，∴∠COF=∠AEF=90°

∴∠AFC+∠FAG=90°,∠AFC+∠OCF=90°，∴∠FAG=∠OCF.

在△AOG和△COF中

，

∴△AOG≌△COF(ASA)，∴OF=OG；

②∵∠AOG=∠AHD=90°，∴OG∥DH，∴△AOG∽△AHD，

∴，∴，∴OG=1.2.∴OF=1.2.∴F(1.2,0)

(3)如图1,当∠CPF=90°，PC=PF时，作PH⊥OC于H，PM⊥OB于M

∴∠PHC=∠PHO=∠PMO=∠PMB=90°.∵∠BOC=90°，∴四边形OMPH是矩形，

∴∠HPM=90°，∴∠HPF+∠MPF=90°.∵∠CPF=90°，∴∠CPH+∠HPF=90°.

∵∠CPH=∠FPM.

在△PHC和△PMF中

，

∴△PHC≌△PMF(AAS)，∴CH=FM.HP=PM，∴矩形HPMO是正方形，∴HO=MO=HP=PM.

∵CO=OB，∴CO−OH=OB−OM,∴CH=MB，∴FM=MB.∵OF=1.2，∴FB=4.8，∴FM=2.4，

∴OM=3.6∴PM=3.6，∴P(3.6,3.6)；

图2,当∠CFP=90∘，PF=CF时，作PH⊥OB于H，

∴∠OFC+∠PFH=90∘,∠PHF=90∘，∴∠PFH+∠FPH=90∘，∴∠OFC=∠HPF.

∵∠COF=90∘，∴∠COF=∠FHP.

在△COF和△PHF中

，

∴△COF≌△PHF(AAS)，∴OF=HP，CO=FH，∴HP=1.2，FH=6，∴OH=7.2，∴P(7.2,1.2)；

图3,当∠FCP=90∘，PC=CF时，作PH⊥OC于H，

∴∠CHP=90∘,∴∠HCP+∠HPC=90∘.∵∠FCP=90∘，∴∠HCP+∠OCF=90∘，

∴∠OCF=∠HCP.∵∠FOC=90∘，∴∠FOC=∠CHP.

在△COF和△PHC中

，

∴△COF≌△PHC(AAS)，∴OF=HC，OC=HP，∴HC=1.2，HP=6，∴HO=7.2，∴P(6,7.2)，

∴P(6,7.2),(7.2,1.2),(3.6,3.6).

点睛：本题主要考查了坐标与象限的性质与运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时求三角形全等是关键.