Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2﹣x+4；（2）PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m（﹣2＜m＜0）；（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或﹣．

【解析】试题分析：（1）设交点式y=a（x﹣1）（x+3），然后把B点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；

（2）先解方程﹣x2﹣x+4=4，解得x1=0，x2=﹣2，则﹣2＜m＜0，设P（m，﹣ m2﹣m+4），G（m，4），则可用m表示PG；

（3）易得△DEH∽△DOB，则判定△PGB与△BOD，由于∠PGB=∠DOB，根据相似三角形的判定方法，当 时，△PGB∽△BOD，则△PGB∽△HED，当时，△PGB∽△DOB，则△PGB∽△DEH，然后分别利用相似比列关于m的方程，再解方程求出m，从而得到满足条件的m的值．

试题解析：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x+3），

把B（0，4）代入得a•（﹣1）•3=4，解得a=﹣，

所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）（x+3），

即y=﹣x2﹣x+4；

（2）当y=4时，﹣ x2﹣x+4=4，解得x1=0，x2=﹣2，

∴﹣2＜m＜0，

∵E（m，0），PE⊥x轴，

∴P（m，﹣ m2﹣m+4），

而BC∥x轴，

∴G（m，4），

∴PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m（﹣2＜m＜0）；

（3）∵HE∥OB，

∴△DEH∽△DOB，

∵∠PGB=∠DOB，

∴当时，△PGB∽△BOD，则△PGB∽△HED，

即 ，整理得m2+m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣1，

当时，△PGB∽△DOB，则△PGB∽△DEH，

即，整理得16m2+23m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣ ，

综上所述，在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似，此时m的值为﹣1或﹣．