Question

已知关于x的方程x²+mx+m﹣2=0．

（1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程两实数根分别为x₁，x₂，且满足x₁²+x₂²=﹣3x₁x₂，求实数m的值．

Answer

（1）证明见解析； （2）m=﹣2或1．

【解析】试题分析：（1）先计算△=m2﹣4（m﹣2）=m2﹣4m+8，配方得到△=（m﹣2）2+4，由于（m﹣2）2≥0，则（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，根据△的意义即可得到无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）利用根与系数的关系，结合等式x12+x22=﹣3x1x2即可求解．

试题解析： （1）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，

∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；

（2）x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣2，

∵x12+x22=﹣3x1x2，

∴（x1+x2）2﹣2x1 x2=﹣3x1 x2，

∴（x1+x2）2=﹣x1 x2，

∴m2=2﹣m，

∴m2+m﹣2=0，

∴（m+2）（m﹣1）=0，

∴m=﹣2或1．