Question

已知二次函数y=x²+bx+c（b，c为常数）．

（1）当b=2，c=﹣3时，求二次函数图象的顶点坐标；

（2）当c=10时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；

（3）当c=b²时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．

Answer

（1）顶点坐标为（-1，-4）；（2）二次函数的解析式y=x2+6x+10，y=x2﹣6x+10；（3）二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16．

【解析】试题分析：（1）把b=2，c=﹣3代入函数解析式，通过变形为顶点式即可得顶点坐标；

（2）根据当c=10时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x2+bx+5=1有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；

（3）当c=b2时，写出解析式，分三种情况进行讨论即可．

试题解析：（1）当b=2，c=﹣3时，二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴顶点坐标为（-1，-4）；

（2）当c=10时，二次函数的解析式为y=x2+bx+10，

由题意得，x2+bx+10=1有两个相等是实数根，

∴△=b2﹣36=0，

解得b1=6，b2=﹣6，

∴二次函数的解析式y=x2+6x+10，y=x2﹣6x+10；

（3）当c=b2时，二次函数解析式为y═x2+bx+b2，

图象开口向上，对称轴为直线x=﹣ ，

①当﹣＜b，即b＞0时，

在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，

∴当x=b时，y=b2+b•b+b2=3b2为最小值，

∴3b2=21，解得b1=﹣ （舍去），b2=；

②当b≤﹣≤b+3时，即﹣2≤b≤0，

∴x=﹣，y=b2为最小值，

∴b2=21，解得b1=﹣2（舍去），b2=2（舍去）；

③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，

在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，

故当x=b+3时，y=（b+3）2+b（b+3）+b2=3b2+9b+9为最小值，

∴3b2+9b+9=21．解得b1=1（舍去），b2=﹣4；

∴b=时，解析式为：y=x2+x+7

b=﹣4时，解析式为：y=x2﹣4x+16．

综上可得，此时二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16．

点睛：本题主要考查二次函数的性质，能正确地根据题意确定出顶点坐标，能根据题意确定出抛物线在什么情况下与直线只有一个交点，根据题意分情况进行讨论是解题的关键.