Question

如图1所示，在正方形ABCD中，AB=1， 是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的动点（点E与点A，D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．

（1）求证：EA=EG；

（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

（3）如图2所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D₁EF，连接AD₁，D₁D，试探索：当点E运动到何处时，△AD₁D与△ED₁F相似？请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）y= （0＜x＜1）；（3）当点E运动到AD的中点时，△AD1D与△ED1F相似；理由见解析．

【解析】试题分析：（1）证出AD是圆B的切线，由切线长定理即可得出结论；

（2）根据切线长定理、正方形的性质得到有关的线段用x，y表示，再根据勾股定理建立函数关系式．

（3）根据切线长定理找到角之间的关系，从而发现正方形，根据正方形的性质得到两个角对应相等，从而证明三角形相似．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠D=90°，AD=CD=AB=1，∴AD⊥BA，∴AD是圆B的切线，∵EG是圆B的切线，∴EA=EG；

（2）∵EF切圆B于点G，∴EA=EG，FC=FG．

∵AE=x，FC=y∴EF=x+y，DE=1﹣x，DF=1﹣y，

在Rt△DEF中，根据勾股定理，得：（x+y）2=（1﹣x）2+（1﹣y）2

∴y=（0＜x＜1）．

（3）当点E运动到AD的中点时，△AD1D与△ED1F相似；理由如下：

设直线EF交线段DD1于点H，由题意，得：△EDF≌△ED1F，EF⊥DD1且DH=D1H．

∵AE= ，AD=1，∴AE=ED．∴EH∥AD1，∠AD1D=∠EHD=90°．

又∵∠ED1F=∠EDF=90°，∴∠FD1D=∠AD1D．∴D1F∥AD，∴∠ADD1=∠DD1F=∠EFD=45°，

∴△ED1F∽△AD1D．