Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.

(1)求证：BM=MN;

(2)若∠BAD=60°，AC平分，AC=2， 写出求BN长的思路.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】试题分析：（1）分别根据“斜边上的中线等于斜边的一半”与中位线定理得到边之间的关系，再结合已知条件进行等量代换即可。（2）)由已知可证∠DAC=∠CAB=30°，BM=AM=AC=1,根据三角形外角性质可证∠CMB=60°,根据三角形中位线定理可证MN∥AD，MN=AD=1, ∠DAC=∠NMC=30°可得三角形NMB是直角三角形,根据三角形勾股定理可得出BN的长 .

试题解析：

(1)证明：∵∠ABC=90°，M为AC中点

∴BM=AC

∵M为AC中点，N为DC中点

∴MN=AD

∵AD=AC

∴BM=MN

(2)由已知可证∠DAC=∠CAB=30°，

BM=AM=AC=1

根据三角形外角性质可证∠CMB=60°

根据三角形中位线定理可证MN∥AD，MN=AD=1, ∠DAC=∠NMC=30°

可得三角形NMB是直角三角形

根据三角形勾股定理可得出BN的长