Question

如图1，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．

(1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_____，_____；______.

(2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长．

(3)如图4，四边形纸片满足．小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出的长．

Answer

（1）（1）AE；GF；1:2；（2）13；（3）按图1的折法，则AD=1，BC=7；按图2的折法，则AD= ,BC=.

【解析】

试题分析：（1）由图2观察可得出答案为AE,GF,由折叠的轴对称性质可得出答案为1：2；（2）由EF和EH的长度根据勾股定理可求出FH的长度，再由折叠的轴对称性质易证△AEH≌△CGF；再根据全等三角形的性质可得出AD的长度；（3）由折叠的图可分别求出AD和BC的长度.

试题解析：（1）AE；GF；1:2

（2）【解析】
∵四边形EFGH是叠合矩形，∠FEH=90°,EF=5,EH=12;

∴FH= =13;

由折叠的轴对称性可知：DH=NH,AH=HM,CF=FN;

易证△AEH≌△CGF;

∴CF=AH;

∴AD=DH+AH=HN+FN=FH=13.

（3）【解析】
本题有以下两种基本折法，如图1，图2所示.

按图1的折法，则AD=1，BC=7.

按图2的折法，则AD= ,BC=.