Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．

（1）求证：DE⊥AC；

（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．

Answer

（1）证明见解析（2）8

【解析】

试题分析：（1）欲证明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即可；

（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，构建矩形ODEH，设AH=x．则由矩形的性质推知：AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．在Rt△AOH中，由勾股定理知：x2+（x﹣2）2=102，通过解方程得到AH的长度，结合OH⊥AF，得到AF的值．

试题解析：（1）∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC．

∵DE是⊙O的切线，OD是半径，

∴DE⊥OD，

∴DE⊥AC；

（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，

∴四边形ODEH是矩形，

∴OD=EH，OH=DE．

设AH=x．

∵DE+AE=8，OD=10，

∴AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．

在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣2）2=102，

解得x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）．

∴AH=8．

∵OH⊥AF，

∴AH=FH=AF，

∴AF=2AH=2×8=16．

考点：1、切线的性质，2、勾股定理，3、矩形的判定与性质