Question

若点A(3,3 )是正比例函数上一点，点M(m ,0)与点N(0 ,n)分别在x轴与y轴上，且∠MAN=90°.

（1）如图1，当N点与原点O重合，求M点的坐标；

（2）如图2，已知m,n都为正数，连接MN，若MN=，求△MON的面积.

Answer

（1）M点坐标为（6，0）；（2）

【解析】试题分析：（1）过点A作AD⊥x轴于D，由点A的坐标即可得出AD=OD=3，进而得出∠AOD=∠OAD=45°，再通过角的计算得出∠AMO=45°，从而得出AO=AM，根据等腰三角形的性质即可得出OM=2OD，由此即可得出点M的坐标；（2）过点A作AQ⊥x轴于Q，作AP⊥y轴于P，由点A的坐标结合矩形的性质即可得出四边形APOQ是正方形，根据正方形的性质找出AP=AQ，再根据全等三角形的判定定理（ASA）即可证出△APN≌△AQM，从而得出PN=QM，通过边与边之间的关系结合勾股定理即可得出mn的值，将其代入三角形的面积公式即可得出结论．

试题解析：（1） 当N点与原点O重合时，如图作AD⊥x轴于D,

∵ A（3，3）

∴ AD=OD=3

∴ ∠AOD=∠OAD=45°

又∵∠MAN＝90°

∴∠AMO＝90°－45°=45°

∴ AO＝AM,

∴OM=2OD=6

∴ M点坐标为（6，0）

（2）如图作AQ⊥轴于Q，AP⊥轴于P,

则 ∠APO=∠AQO=90°

又∵∠POQ＝90°

∴ 四边形APOQ是矩形,

∵ A（3，3），

∴ OP＝OQ=3,

∴ 四边形APOQ是正方形，

∴ AP=AQ.

∵ ∠PAN+∠NAQ=90°, ∠QAM+∠NAQ=90°,

∴ ∠PAN=∠QAM.

∴ △APN ≌ △AQM ,

∴ PN=QM.

∵M (m , 0), N (0 , n)

∴ ON=n，OM=m,

∴ PM=3-n,QM=m-3,

∴ 3-n=m-3,即.

在Rt△MON中，

∴,即

∵，

∴，即

∴

点睛：本题考查了等腰三角形的性质、正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）找出AO=AM以及OD的长度；（2）求出mn的值.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据矩形（正方形或全等三角形）的性质找出相等的边角关系是关键.