Question

如图，在四边形ABCD中,AB//CD,∠ABC=∠ADC,DE垂直于对角线AC，垂足是E,连接BE .

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若点E是AC的中点，判断BE与AC的位置关系，并说明理由；

（3）若△ABE是等边三角形，AD=,求对角线AC的长 .

Answer

（1）证明见解析；（2）BE⊥AC，理由见解析；（3）AC＝

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质得出∠ABC+∠DCB=180°，推出∠ADC+∠BCD=180°，根据平行线的判定得出AD∥BC，根据平行四边形的判定推出即可；（2）求出AD=DC，根据菱形的判定得出四边形ABCD是菱形，根据等腰三角形的性质得出即可；（3）根据等边三角形的性质得出AB=AE，∠BAC=60°，求出∠DCE=∠BAE=60°，求出CD=2EC，设CE=x，则AB=DC=AE=2x，根据勾股定理得出方程，求出x，即可得出答案．

试题解析：（1） 证明：∵AB∥CD

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∠ADC+∠BAD＝180°，

又∵∠ABC ＝∠ADC，

∴∠BAD＝∠BCD，

∴四边形ABCD是平行四边形.

（2）∵DE⊥AC，且E是AC的中点,

∴ AD＝DC .

由（1）可得四边形ABCD是平行四边形

∴ 四边形 ABCD是菱形.

∴ AB＝BC

∵ E是AC中点，

∴ BE⊥AC.

（3）在平行四边形ABCD中，AB∥CD

∵△ABE是等边三角形

∴ ∠BAE＝60°

∴ ∠ACD＝60°

∵ DE⊥AC

∴ ∠DEC＝90°,

∴ ∠EDC＝30° ,

∴ EC＝DC

设EC＝x，则DC＝2x

∴ DE＝, AB＝AE＝2x ，

在Rt△ADE中，

AE2+OE2=AD2

∴, 解得 ，

∴AC＝3 .