Question

如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝ax²＋bx＋6(a≠0)相交于点A(， )，B(4，m)，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为y＝2x2－8x＋6；

（2）当n＝时，线段PC最大为

【解析】试题分析：（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．

试题解析：(1)∵B(4，m)在直线y＝x＋2上，

∴m＝4＋2＝6，

∴B(4，6)，

∵A(， )，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx＋6上，

∴

解得

∴抛物线的解析式为y＝2x2－8x＋6

(2)设动点P的坐标为(n，n＋2)，则C点的坐标为(n，2n2－8n＋6)，

∴PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝－2(n－)2＋，

∵PC＞0，

∴当n＝时，线段PC最大为

点睛：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识. 善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.